Définition :
Soit \(C\) un point et \(\lambda\) un réel
L'application $${{H_{C,\lambda} }}:{{A}}\mapsto {{C+\lambda\overrightarrow{CA} }}$$ est appelée homothétie de centre \(C\) et de rayon \(\lambda\)
Proposition :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une \(\lvert\lambda\rvert\)-similitude
(Similitude)
Corollaire :
Une homothétie \(H_{C,\lambda}\) est une isométrie si et seulement si \(\lambda=\pm1\)
(Isométrie)
Point fixe
Proposition :
Le centre d'une homothétie non triviale est son unique point fixe
Corollaire :
Si \(H\) est une homothétie non triviale et \(H(C)=C\), alors \(C\) est le centre de l'homothétie
(Point fixe)
Egalité d'homothéties
Proposition :
Nous avons \(H_{C_1,\lambda_1}=H_{C_2,\lambda_2}\) si et seulement si \(\lambda_1=\lambda_2\) et \(C_1=C_2\) dans le cas non trivial
Caractère affine
Proposition :
Les homothéties sont affines
(Fonction affine)
Autres
Proposition :
Si \(\lambda\ne1\), \(A\ne C\) et \(H_{C,\lambda}(A)={{B}}\), alors $$C\in(AB)$$
(Droite)